Démarrage a froid: démarre nickel, fait bien son cycle de chauffe, mais il y a un bruit aigu (bip long) continue a l'arrière qui dure 1 minute et qui vient a priori de la pompe

Après avoir rouler + de 20 minutes, je coupe l'auto fait une course de 30 minutes et je repart:
Démarrage moteur chaud: démarre nickel, mais tourne sur 4 ou 5 cylindres et tourne comme une patate et sa créer un bruit sourd et fait vibrer toute la caisse en roulant (le même bruit qu'un pneu crevé), je roule tranquille pendant 2 voir 3 kilomètres et elle finit par reprendre son fonctionnement normal

Se serait pas des signes de fatigue de la pompe a essence ?